LaTeX 數學排版完整教學：符號、公式、矩陣與多行推導

部分資料由 AI 生成。

LaTeX 的數學模式會依公式結構決定字型、間距與大小。分數、上下標、積分界線和矩陣不必靠空格排位置，只要把結構寫清楚，排版引擎便能產生一致的結果。

本文的範例分成兩部分：「LaTeX 原始碼」可放進 .tex 文件；「本站渲染結果」則交給本站的 Markdown 預處理器與 MathJax 顯示。兩者使用相近語法，但 MathJax 只是瀏覽器中的 TeX 數學輸入處理器，不等於完整的 LaTeX 編譯環境。套件、自訂命令或文件交叉引用仍應在真正的 .tex 專案中測試。

本文最後更新於 2026 年 9 月 14 日。若還沒有安裝與編譯環境，先閱讀LaTeX 完整入門。

開始前先載入數學套件

一般文件可在前言區載入 amsmath 與 amssymb。前者提供 align、cases、matrix、\text 等環境與命令；後者補上更多數學符號。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\begin{document}

% 數學內容寫在這裡

\end{document}

若是繁體中文文件，可改用 ctexart 並以 LuaLaTeX 或 XeLaTeX 編譯：

\documentclass[UTF8]{ctexart}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\begin{document}

中文內容與公式 $E=mc^2$ 可以放在同一段。

\end{document}

行內公式與獨立公式

行內公式會跟著段落排列，適合短式子。LaTeX 文件常用 $...$ ，也可以使用 $...$。

LaTeX 原始碼

圓面積為 $A=\pi r^2$，其中 $r$ 是半徑。

圓周長為 \(C=2\pi r\)。

本站渲染結果

圓面積為 $A=\pi r^2$，其中 $r$ 是半徑。

圓周長為 $C=2\pi r$。

獨立公式會另起一行。正式文件若不需要編號，可用 equation*；需要編號與引用時，用 equation。

LaTeX 原始碼

\begin{equation*}
  a^2+b^2=c^2
\end{equation*}

\begin{equation}
  E=mc^2
  \label{eq:mass-energy}
\end{equation}

本站渲染結果

\[ a^2+b^2=c^2 \]

\[ E=mc^2 \tag{1} \]

本站的獨立公式使用 \[...\]。頁面目前不會自動替每條公式編號，所以預覽中的 (1) 由 \tag{1} 產生；PDF 文件仍應使用 equation 與 \label，不要手動維護流水號。

上標、下標與分組

^ 產生上標，_ 產生下標。它們預設只套用緊接的單一字元；內容包含多個字元時，必須用 {...} 分組。

LaTeX 原始碼

$x^2$
$a_i$
$x^{10}$
$a_{i+1}$
$e^{-j\omega t}$
$x_i^{(k+1)}$

本站渲染結果

\[ x^2,\qquad a_i,\qquad x^{10},\qquad a_{i+1},\qquad e^{-j\omega t},\qquad x_i^{(k+1)} \]

x^10 會被解讀成 $x^1 0$，只有 1 進入上標。正確寫法是 x^{10}。同理，a_i+1 與 a_{i+1} 代表不同的式子。

分數、根號與二項式

分數使用 \frac{分子}{分母}；根號使用 \sqrt{內容}，方括號可指定根次。組合數可用 \binom{n}{k}。

LaTeX 原始碼

\[
  \frac{a+b}{c+d}
  \qquad
  \sqrt{x^2+y^2}
  \qquad
  \sqrt[3]{8}=2
  \qquad
  \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

本站渲染結果

\[ \frac{a+b}{c+d} \qquad \sqrt{x^2+y^2} \qquad \sqrt[3]{8}=2 \qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

行內分數會配合行高縮小。若公式本來就很複雜，改用獨立公式通常比強制 \dfrac 更好讀。

括號與自動縮放

一般的 (、[、\{ 不會隨內容變高。分數、矩陣或大型運算子外圍可使用 \left 與 \right。

LaTeX 原始碼

\[
  \left(
    \frac{x+1}{x-1}
  \right)^2
  \qquad
  \left[
    \sum_{k=1}^{n} k
  \right]
  \qquad
  \left\{
    \frac{a}{b}
  \right\}
\]

本站渲染結果

\[ \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^2 \qquad \left[ \sum_{k=1}^{n} k \right] \qquad \left\{ \frac{a}{b} \right\} \]

只需要單邊括號時，以句點代表看不見的另一邊：

LaTeX 原始碼

\[
  \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2 \right|_{x=1}=2
\]

本站渲染結果

\[ \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2 \right|_{x=1}=2 \]

每組 \left 都要配對 \right。若自動縮放的括號太大，可改用 \bigl、\Bigl、\biggl 與相對應的右括號命令手動選擇尺寸。

希臘字母與常用符號

希臘字母以英文名稱輸入。部分小寫字母另有變體，例如 \phi／\varphi、\epsilon／\varepsilon。

LaTeX 原始碼

\[
  \alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta,\ \theta,\ \lambda,\ \mu,
  \ \pi,\ \rho,\ \sigma,\ \phi,\ \omega
\]

\[
  \Gamma,\ \Delta,\ \Theta,\ \Lambda,\ \Pi,\ \Sigma,\ \Phi,\ \Omega
\]

本站渲染結果

\[ \alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta,\ \theta,\ \lambda,\ \mu, \ \pi,\ \rho,\ \sigma,\ \phi,\ \omega \]

\[ \Gamma,\ \Delta,\ \Theta,\ \Lambda,\ \Pi,\ \Sigma,\ \Phi,\ \Omega \]

常用關係與集合符號如下：

LaTeX 原始碼

\[
  a\neq b,\quad x\le y,\quad y\ge x,\quad a\approx b,
  \quad x\in A,\quad B\subseteq A,\quad A\cap B,\quad A\cup B
\]

\[
  \forall x\in\mathbb{R},\quad \exists y>0,
  \quad P\Rightarrow Q,\quad P\Leftrightarrow Q
\]

本站渲染結果

\[ a\neq b,\quad x\le y,\quad y\ge x,\quad a\approx b, \quad x\in A,\quad B\subseteq A,\quad A\cap B,\quad A\cup B \]

\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad \exists y>0, \quad P\Rightarrow Q,\quad P\Leftrightarrow Q \]

函數名稱、文字與字型

sin、log、lim 若直接打成一般字母，LaTeX 會把它們當成三個變數並排。應使用內建命令 \sin、\log、\lim，自訂運算子則使用 \operatorname{...}。

LaTeX 原始碼

\[
  \sin^2 x+\cos^2 x=1,
  \qquad
  \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y
\]

\[
  \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,
  \qquad
  \operatorname{rank}(A)=n
\]

本站渲染結果

\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1, \qquad \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \]

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \operatorname{rank}(A)=n \]

公式內的說明文字用 \text{...}。數字集合常用 \mathbb，向量與矩陣則依文件規範選擇粗體或箭頭。

LaTeX 原始碼

\[
  f(x)=0 \quad \text{當 } x<0
\]

\[
  x\in\mathbb{R},\quad n\in\mathbb{N},
  \quad \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b},
  \quad \vec{v}=\langle v_x,v_y\rangle
\]

本站渲染結果

\[ f(x)=0 \quad \text{當 } x<0 \]

\[ x\in\mathbb{R},\quad n\in\mathbb{N}, \quad \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}, \quad \vec{v}=\langle v_x,v_y\rangle \]

\mathbf{v} 適合粗體拉丁字母；粗體希臘字母可使用 \boldsymbol{\alpha}。變數通常維持斜體，單位、常數名稱或微分符號可使用 \mathrm{...} 轉成直立體。

數學間距

數學模式會自行調整間距，一般空格幾乎不起作用。需要人工修正時，從小到大可用 \,、\:、\;、\quad、\qquad；\! 會縮小間距。

LaTeX 原始碼

\[
  \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x
  \qquad
  f(x)\,g(x)
  \qquad
  a\quad b\qquad c
\]

本站渲染結果

\[ \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \qquad f(x)\,g(x) \qquad a\quad b\qquad c \]

間距命令應用來表達數學結構，例如函數相乘或積分中的微分符號，不適合拿來把整條公式推到頁面中央。公式的位置交給 equation、align 等環境控制。

求和、乘積、極限與積分

大型運算子在行內與獨立公式中的界線位置不同。獨立公式通常把上下限放在運算子上下方；行內公式會放在右側，以免撐高行距。

LaTeX 原始碼

\[
  \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}
\]

\[
  \prod_{k=1}^{n} a_k
  \qquad
  \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e
\]

\[
  \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x,
  \qquad
  \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A,
  \qquad
  \oint_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}
\]

本站渲染結果

\[ \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2} \]

\[ \prod_{k=1}^{n} a_k \qquad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e \]

\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x, \qquad \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A, \qquad \oint_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} \]

導數、偏微分與梯度

普通導數可用質數記號或分數；偏微分使用 \partial。較長的運算式建議保留 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}，讀者較容易看出微分變數。

LaTeX 原始碼

\[
  f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x},
  \qquad
  f''(x)=\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}
\]

\[
  \frac{\partial u}{\partial t}
  =\alpha\frac{\partial^2u}{\partial x^2},
  \qquad
  \nabla f=\left(
    \frac{\partial f}{\partial x},
    \frac{\partial f}{\partial y}
  \right)
\]

本站渲染結果

\[ f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}, \qquad f''(x)=\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2} \]

\[ \frac{\partial u}{\partial t} =\alpha\frac{\partial^2u}{\partial x^2}, \qquad \nabla f=\left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

向量、矩陣與行列式

amsmath 提供多種矩陣環境：matrix 沒有外框，pmatrix 使用圓括號，bmatrix 使用方括號，vmatrix 使用單直線。

LaTeX 原始碼

\[
  \mathbf{A}=
  \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} \\
    a_{21} & a_{22}
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \mathbf{x}=
  \begin{pmatrix}
    x_1 \\
    x_2
  \end{pmatrix}
\]

\[
  \det(\mathbf{A})=
  \begin{vmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{vmatrix}
  =ad-bc
\]

本站渲染結果

\[ \mathbf{A}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \]

\[ \det(\mathbf{A})= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc \]

大型矩陣可用 \cdots、\vdots、\ddots 表示省略：

LaTeX 原始碼

\[
  \begin{bmatrix}
    a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
    \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m1} & \cdots & a_{mn}
  \end{bmatrix}
\]

本站渲染結果

\[ \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

矩陣每列以 \\ 結束，每欄以 & 分隔。某列的欄位數不同時，通常會出現對齊錯誤。

分段函數

cases 會產生左大括號與兩欄內容。第一欄放式子，第二欄放條件；文字條件要放在 \text{...} 內。

LaTeX 原始碼

\[
  f(x)=
  \begin{cases}
    x^2,  & x\ge 0, \\
    -x^2, & x<0.
  \end{cases}
\]

本站渲染結果

\[ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\ge 0, \\ -x^2, & x<0. \end{cases} \]

含文字的例子：

LaTeX 原始碼

\[
  |x|=
  \begin{cases}
    x,  & \text{若 } x\ge 0, \\
    -x, & \text{若 } x<0.
  \end{cases}
\]

本站渲染結果

\[ |x|= \begin{cases} x, & \text{若 } x\ge 0, \\ -x, & \text{若 } x<0. \end{cases} \]

多行公式與等號對齊

推導過程使用 align，以 & 標出對齊點，通常放在等號前。每行以 \\ 結束。align 會替每行編號；不需要編號時使用 align*。

LaTeX 原始碼

\begin{align*}
  (a+b)^2
    &= (a+b)(a+b) \\
    &= a^2+ab+ba+b^2 \\
    &= a^2+2ab+b^2
\end{align*}

本站渲染結果

\[ \begin{aligned} (a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\ &= a^2+ab+ba+b^2 \\ &= a^2+2ab+b^2 \end{aligned} \]

本站預覽把 align* 攤平為 \[\begin{aligned}...\end{aligned}\]，以免 Markdown 與頁面層級的環境解析互相干擾。真正的 LaTeX 文件仍使用 align／align*。

同一組編號內需要多行排版時，可在 equation 中放 split：

LaTeX 原始碼

\begin{equation}
  \begin{split}
    f(x)
      &= (x+1)^3 \\
      &= x^3+3x^2+3x+1
  \end{split}
  \label{eq:cubic}
\end{equation}

本站渲染結果

\[ \begin{aligned} f(x) &= (x+1)^3 \\ &= x^3+3x^2+3x+1 \end{aligned} \tag{2} \]

太長且沒有適合對齊點的單條公式可用 multline；數條彼此獨立、又不必對齊的公式可用 gather。

\begin{multline}
  a+b+c+d+e+f+g+h+i+j \\
  {}+k+l+m+n+o+p+q+r+s+t
\end{multline}

\begin{gather*}
  a+b=c \\
  x+y=z
\end{gather*}

公式編號與交叉引用

在 equation 或 align 內加入 \label{...}，正文再用 \eqref{...}。\eqref 會自動加上圓括號。

LaTeX 原始碼

\begin{equation}
  F=ma
  \label{eq:newton-second-law}
\end{equation}

由式~\eqref{eq:newton-second-law} 可知，
合力等於質量與加速度的乘積。

標籤建議使用 eq: 前綴，例如 eq:energy、eq:heat-equation。新增或刪除公式後，LaTeX 會重新安排編號；手動寫「式 (3)」容易在修改文件後指向錯誤位置。

公式出現 ?? 時，先再編譯一次。LaTeX 第一輪把標籤寫進 .aux，下一輪才讀回正確編號；使用 latexmk 通常會自動完成需要的輪數。

方程組

方程組可以用 cases，也可以用 aligned 配合單邊大括號。後者較容易控制等號對齊。

LaTeX 原始碼

\[
  \left\{
  \begin{aligned}
    2x+y &= 5, \\
    x-y  &= 1.
  \end{aligned}
  \right.
\]

本站渲染結果

\[ \left\{ \begin{aligned} 2x+y &= 5, \\ x-y &= 1. \end{aligned} \right. \]

\right. 代表右側不顯示括號，但仍與左側的 \left\{ 完成配對。

機率與統計範例

條件機率中的直線應使用 \mid，它會留下符合關係符號的間距。期望值、變異數等運算子可用 \operatorname 定義。

LaTeX 原始碼

\[
  P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
\]

\[
  \operatorname{E}[X]
  =\sum_x xP(X=x),
  \qquad
  \operatorname{Var}(X)
  =\operatorname{E}\!\left[(X-\mu)^2\right]
\]

\[
  f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
  \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\]

本站渲染結果

\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

\[ \operatorname{E}[X] =\sum_x xP(X=x), \qquad \operatorname{Var}(X) =\operatorname{E}\!\left[(X-\mu)^2\right] \]

\[ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \]

自訂常用命令

同一份文件經常使用實數集合、向量或固定運算子時，可在前言區定義命令。日後若要改格式，只需修改定義。

LaTeX 原始碼

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}}
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}

% 文件內
$x\in\R^n$
$\vect{v}=\vect{a}+\vect{b}$
$\rank(A)=n$

本站渲染結果

本站預覽不依賴文件前言區，因此直接展開命令：

\[ x\in\mathbb{R}^n, \qquad \boldsymbol{v}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \qquad \operatorname{rank}(A)=n \]

命令名稱應避開既有 LaTeX 命令。\newcommand 遇到同名命令會報錯，能及早發現衝突；不要改用低階 \def 來掩蓋問題。

常見錯誤與修正

忘記把多字元上下標放進大括號

% 錯誤意圖：只有 1 進入上標
$x^10$

% 正確
$x^{10}$

把函數名稱當成變數

% 字母會各自成為變數
$sin x + log x$

% 正確的函數間距與直立字型
$\sin x + \log x$

本站渲染比較：

\[ sin x + log x \qquad\text{與}\qquad \sin x + \log x \]

在數學模式直接輸入說明文字

% 不建議
$x=0, if n is even$

% 使用 amsmath 的 \text
$x=0,\quad \text{if } n \text{ is even}$

本站渲染結果：

\[ x=0,\quad \text{if } n \text{ is even} \]

自動縮放括號沒有配對

% 錯誤：缺少 \right
\left( \frac{a}{b}

% 正確
\left( \frac{a}{b} \right)

% 只顯示左括號
\left( \frac{a}{b} \right.

在 `align` 中放空白行

align、equation 等數學環境內不要留空白段落。需要分開說明時，先結束環境，寫完文字後再開始下一個公式環境。

避免使用雙錢號編寫正式 LaTeX 文件

$$...$$ 是 Plain TeX 習慣，對 LaTeX 的間距、錯誤檢查與文件環境整合較差。正式 .tex 文件建議使用 \[...\]、equation* 或 AMS 的顯示公式環境。本站支援 $$...$$，但教學範例仍以 LaTeX 文件的正規環境為準。

可直接編譯的完整範例

以下文件包含行內公式、編號公式、分段函數、矩陣與多行推導。儲存為 UTF-8 的 main.tex，再執行 latexmk -lualatex main.tex。

\documentclass[UTF8,12pt]{ctexart}

\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{hyperref}

\title{數學排版練習}
\author{王小明}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\section{二次方程式}

方程式 $ax^2+bx+c=0$ 在 $a\neq 0$ 時，其解為

\begin{equation}
  x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
  \label{eq:quadratic}
\end{equation}

式~\eqref{eq:quadratic} 中的 $b^2-4ac$ 稱為判別式。

\section{分段函數}

\begin{equation}
  |x|=
  \begin{cases}
    x,  & x\ge 0, \\
    -x, & x<0.
  \end{cases}
\end{equation}

\section{矩陣}

\begin{equation}
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 \\
    3 & 4
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    x \\
    y
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    5 \\
    6
  \end{bmatrix}.
\end{equation}

\section{推導}

\begin{align*}
  \sum_{k=1}^{n}k
    &= 1+2+\cdots+n \\
    &= \frac{n(n+1)}{2}.
\end{align*}

\end{document}

其中最主要的三個輸出如下：

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

\[ |x|= \begin{cases} x, & x\ge 0, \\ -x, & x<0 \end{cases} \]

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix} \]

公式撰寫檢查表

公式中的括號與大括號完整配對。
多字元上標、下標與命令參數使用 {...} 分組。
\sin、\log、\lim 等函數使用專用命令。
說明文字放進 \text{...}，單位與微分符號視需要改為直立體。
多行推導使用 align，等號前放置 & 對齊點。
編號公式使用 \label 與 \eqref，不手動寫死號碼。
矩陣的每列欄位數一致，欄位以 & 分隔、列以 \\ 結束。
先修編譯日誌中的第一個錯誤，再處理後續訊息。
交件前閱讀 PDF，檢查過長公式、括號尺寸、公式編號與引用。

官方參考資料

遇到不熟悉的式子時，先把它拆成最外層結構：等號兩側是什麼、分子分母各是什麼、哪些內容屬於上下標。每次只補上一層命令並重新編譯，通常比一次輸入整條長公式更容易找到括號或環境錯誤。

LaTeX 數學排版完整教學：符號、公式、矩陣與多行推導

目錄

開始前先載入數學套件

行內公式與獨立公式

上標、下標與分組

分數、根號與二項式

括號與自動縮放

希臘字母與常用符號

函數名稱、文字與字型

數學間距

求和、乘積、極限與積分

導數、偏微分與梯度

向量、矩陣與行列式

分段函數

多行公式與等號對齊

公式編號與交叉引用

方程組

機率與統計範例

自訂常用命令

常見錯誤與修正

忘記把多字元上下標放進大括號

把函數名稱當成變數

在數學模式直接輸入說明文字

自動縮放括號沒有配對

在 align 中放空白行

避免使用雙錢號編寫正式 LaTeX 文件

可直接編譯的完整範例

公式撰寫檢查表

官方參考資料

在 `align` 中放空白行